Question

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一

Answer 1

解题思路：（1）先由直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，求出B（3，0），C（0，3），再根据抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=2，求出与x轴的另一交点A的坐标为（1，0），然后将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c，运用待定系数法即可求出该抛物线的函数表达式；

（2）先利用配方法将二次函数写成顶点式，得到顶点P的坐标，再设抛物线的对称轴交直线y=-x+3于点M，由PM∥y轴，得出M的坐标，然后根据S_△PBC=[1/2]•PM•|x_C-x_B|即可求出△PBC的面积；

（3）设Q（m，m²-4m+3），首先求出以点A、B、C、Q所围成的四边形面积=[91/72]S_△PBC=[91/72]×3=[91/24]．再分两种情况进行讨论：①当点Q在PB段时，由S_{四边形ACBQ}=S_△ABC+S_△ABQ=3+|y_Q|，得出|y_Q|=[91/24]-3=[19/24]，即-m²+4m-3=[19/24]，解方程求出m的值，得到Q₁的坐标；②当点Q在BE段时，过Q点作QH⊥x轴，交直线于H，连结BQ．由S_{四边形ACQB}=S_△ABC+S_△CBQ=3+[3/2]（m²-3m），得出[3/2]（m²-3m）=[91/24]-3=[19/24]，解方程求出m的值，得到Q₂的坐标．

（1）∵直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，

∴B（3，0），C（0，3）．

又∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过x轴上的A，B两点，且对称轴是直线x=2，

∴点A的坐标为（1，0）．

将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c，

得

a+b+c＝0

9a+3b+c＝0

c＝3，解得

a＝1

b＝−4

c＝3，

∴该抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3；

（2）如图，连结PB、PC．

∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，

∴顶点P的坐标为（2，-1）．

设抛物线的对称轴交直线y=-x+3于点M，

∵PM∥y轴，∴M（2，1），

∴S_△PBC=[1/2]•PM•|x_C-x_B|=[1/2]×（1+1）×3=3；

（3）由图可知，点Q应分为两种情况：在PB段或在BE段．

以点A、B、C、Q所围成的四边形面积=[91/72]S_△PBC=[91/72]×3=[91/24]．

设Q（m，m²-4m+3）．

①当点Q在PB段时，

∵S_{四边形ACBQ}=S_△ABC+S_△ABQ=[1/2]×2×3+[1/2]×2|y_Q|=3+|y_Q|，

∴|y_Q|=[91/24]-3=[19/24]，

∴|m²-4m+3|=[19/24]，即-m²+4m-3=[19/24]，

解得m₁=2+

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标求法，三角形、四边形的面积求法．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．