Question

（2009•宝坻区一模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（1+λ）-λan，其中λ≠-1，0；

Answer 1

解题思路：（I）根据题意和a_n=s_n-s_n-1（n≥2）进行变形，再由等比数列的定义判断得出；

（II）由（I）和题中所给的式子求出b_n后，再进一步变形，判断出

{

1

b

n

}

是等差数列，根据等差数列的通项公式求出{b_n}的通项公式；

（III）由前两小题的结果求出C_n，再由错位相减法求出该数列的前n项和为T_n．

（I）由S_n=（1+λ）-λa_n得，S_n-1=（1+λ）-λa_n-1（n≥2），

两式相减得：a_n=-λa_n+λa_n-1，∴

an

an−1＝

λ

1+λ（n≥2），

∵λ≠-1，0，∴数列{a_n}是等比数列．

（II）由（I）知，f(λ)＝

λ

1+λ，

∵b_n=f（b_n-1）（n∈N^*），∴bn＝

bn

1+bn−1，即[1

bn＝

1

bn−1+1，

∴{

1

bn}是首项为

1

b1＝2，公差为1的等差数列；

∴

1

bn＝2+(n−1)＝n+1，

则bn＝

1/n+1]，

（III）λ=1时，q＝

λ

1+λ＝

1

2，且a₁=1，∴an＝(

1

2)n−1，

∴Cn＝an(

1

bn−1)＝(

1

2)n−1n，

∴Tn＝1+2(

1

2)+3(

1

2)2+…+n(

1

2)n−1，①

1

2Tn＝(

1

2)+2(

1

2)2+3(

1

2)3+…+n(

1

2)n②

②-①得：

点评：

本题考点： 数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题是数列的综合题，涉及了等差数列、等比数列的通项公式，主要利用关系式an=sn-sn-1（n≥2）和构造法进行变形，还涉及了错位相减法求数列的前n项和，考查了分析问题和解决问题的能力．