已知数列{an},满足an+2=7an+1-12an,n∈N*,a1=1,a2=5

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  • 解题思路:(Ⅰ)an+2=7an+1-12an,n∈N*,能推导出an+2-3an+1=4(an+1-3an),an+2-4an+1=3(an+1-4an),由此能证明数列{an+1-3an}和{an+1-4an}均为等比数列.

    (Ⅱ)由{an+1-3an}的通项公式和{an+1-4an}的通项公式相减之差能求出数列{an}的通项公式.

    (Ⅲ)由

    a

    n

    =2•

    4

    n−1

    3

    n−1

    >4n-1,得到

    n

    a

    n

    ]=[n

    2•

    4

    n−1

    3

    n−1

    n

    4

    n−1

    =n•

    (

    1/4

    )

    n

    ,由此利用放缩法和错位相减法能证明

    n

    i=1][i

    a

    i

    16/9].

    (Ⅰ)证明:∵an+2=7an+1-12an,n∈N*,a1=1,a2=5,

    ∴an+2-3an+1=4(an+1-3an),

    ∴{an+1-3an}首项为a2 −3a1=5−3=2,公比为4的等比数列,

    ∵an+2=7an+1-12an,n∈N*,a1=1,a2=5,

    ∴an+2-4an+1=3(an+1-4an),

    ∴{an+1-4an}是首项为a2-4a1=5-4=1,公比为3的等比数列.

    (Ⅱ)∵{an+1-3an}首项为a2 −3a1=5−3=2,公比为4的等比数列,

    ∴an+1-3an=2•4n-1

    ∵{an+1-4an}是首项为a2-4a1=5-4=1,公比为3的等比数列,

    ∴an+1-4an=3n-1

    ∴an=2•4n-1-3n-1(n∈N*).

    (Ⅲ)证明:∵an=2•4n−1−3n−1>4n-1

    ∴[n

    an=

    n

    2•4n−1−3n−1<

    n

    4n−1=n•(

    1/4)n,

    n

    i=1

    i

    ai]<

    n

    i=1i•(

    1

    4)i−1,

    设Sn=

    n

    i=1i•(

    1

    4)i−1=1+2•[1/4]+3•([1/4])2+…+n•([1/4])n-1,①

    [1/4Sn=

    1

    4+2•(

    1

    4)2+3•(

    1

    4)3+…+n•(

    1

    4)

    点评:

    本题考点: 数列的求和;等差关系的确定;等比关系的确定.

    考点点评: 本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查数列的前n项和小于定值的证明,综合性强,对数学的思维能力要求较高.

    1年前

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