解题思路：（Ⅰ）an+2=7an+1-12an，n∈N*，能推导出an+2-3an+1=4（an+1-3an），an+2-4an+1=3（an+1-4an），由此能证明数列{an+1-3an}和{an+1-4an}均为等比数列．
（Ⅱ）由{an+1-3an}的通项公式和{an+1-4an}的通项公式相减之差能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅲ）由
a
n
＝2•
4
n−1
−
3
n−1
＞4n-1，得到
n
a
n
]=[n
2•
4
n−1
−
3
n−1
＜
n
4
n−1
=n•
(
1/4
)
n
，由此利用放缩法和错位相减法能证明
n
i＝1][i
a
i
＜
16/9]．
（Ⅰ）证明：∵an+2=7an+1-12an，n∈N*，a1=1，a2=5，
∴an+2-3an+1=4（an+1-3an），
∴{an+1-3an}首项为a2 −3a1＝5−3＝2，公比为4的等比数列，
∵an+2=7an+1-12an，n∈N*，a1=1，a2=5，
∴an+2-4an+1=3（an+1-4an），
∴{an+1-4an}是首项为a2-4a1=5-4=1，公比为3的等比数列．
（Ⅱ）∵{an+1-3an}首项为a2 −3a1＝5−3＝2，公比为4的等比数列，
∴an+1-3an=2•4n-1，
∵{an+1-4an}是首项为a2-4a1=5-4=1，公比为3的等比数列，
∴an+1-4an=3n-1，
∴an=2•4n-1-3n-1（n∈N*）．
（Ⅲ）证明：∵an＝2•4n−1−3n−1＞4n-1，
∴[n
an=
n
2•4n−1−3n−1＜
n
4n−1=n•(
1/4)n，
∴
n
i＝1
i
ai]＜
n
i＝1i•(
1
4)i−1，
设Sn=
n
i＝1i•(
1
4)i−1=1+2•[1/4]+3•（[1/4]）2+…+n•（[1/4]）n-1，①
[1/4Sn=
1
4+2•(
1
4)2+3•(
1
4)3+…+n•(
1
4)
点评：
本题考点： 数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于定值的证明，综合性强，对数学的思维能力要求较高．
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