解题思路:(Ⅰ)an+2=7an+1-12an,n∈N*,能推导出an+2-3an+1=4(an+1-3an),an+2-4an+1=3(an+1-4an),由此能证明数列{an+1-3an}和{an+1-4an}均为等比数列.
(Ⅱ)由{an+1-3an}的通项公式和{an+1-4an}的通项公式相减之差能求出数列{an}的通项公式.
(Ⅲ)由
a
n
=2•
4
n−1
−
3
n−1
>4n-1,得到
n
a
n
]=[n
2•
4
n−1
−
3
n−1
<
n
4
n−1
=n•
(
1/4
)
n
,由此利用放缩法和错位相减法能证明
n
i=1][i
a
i
<
16/9].
(Ⅰ)证明:∵an+2=7an+1-12an,n∈N*,a1=1,a2=5,
∴an+2-3an+1=4(an+1-3an),
∴{an+1-3an}首项为a2 −3a1=5−3=2,公比为4的等比数列,
∵an+2=7an+1-12an,n∈N*,a1=1,a2=5,
∴an+2-4an+1=3(an+1-4an),
∴{an+1-4an}是首项为a2-4a1=5-4=1,公比为3的等比数列.
(Ⅱ)∵{an+1-3an}首项为a2 −3a1=5−3=2,公比为4的等比数列,
∴an+1-3an=2•4n-1,
∵{an+1-4an}是首项为a2-4a1=5-4=1,公比为3的等比数列,
∴an+1-4an=3n-1,
∴an=2•4n-1-3n-1(n∈N*).
(Ⅲ)证明:∵an=2•4n−1−3n−1>4n-1,
∴[n
an=
n
2•4n−1−3n−1<
n
4n−1=n•(
1/4)n,
∴
n
i=1
i
ai]<
n
i=1i•(
1
4)i−1,
设Sn=
n
i=1i•(
1
4)i−1=1+2•[1/4]+3•([1/4])2+…+n•([1/4])n-1,①
[1/4Sn=
1
4+2•(
1
4)2+3•(
1
4)3+…+n•(
1
4)
点评:
本题考点: 数列的求和;等差关系的确定;等比关系的确定.
考点点评: 本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查数列的前n项和小于定值的证明,综合性强,对数学的思维能力要求较高.
1年前
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