解题思路：四个点在平面同侧不可能存在与空间不共面四点距离相等的平面，那么可分为一个点在平面一侧，另三个点在另一侧，中截面满足条件，这样的情形有4个，还有一类是二个点在平面一侧，另两个点在另一侧，这样满足条件的平面有三个，即可求出所有满足条件的平面．
一个点在平面一侧，另三个点在另一侧，这样满足条件的平面有四个，都是中截面
如图：
二个点在平面一侧，另两个点在另一侧，这样满足条件的平面有三个
如图：
故答案为：7个
点评：
本题考点： 平面与平面之间的位置关系；棱锥的结构特征．
考点点评： 本小题主要考查平面的基本性质及推论、确定平面的条件、空间距离等基础知识，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．