Question

设不等式2（log[1/2]x）2+9（log[1/2]x）+9≤0的解集为M，求当x∈M时，函数f（x）=（log2[

Answer 1

解题思路：由2（log[1/2]x）²+9（log[1/2]x）+9≤0可知-3≤log[1/2]x≤-[3/2]，从而推导出[3/2]≤log₂x≤3，再由f（x）=（log₂x-1）（log₂x-3（log₂x-2）²-1能够推导出函数f（x）=（log₂[x/2]）（log₂[x/8]）的最大值和最小值．

∵2（log[1/2]x）²+9（log[1/2]x）+9≤0，

∴（2log[1/2]x+3）（log[1/2]x+3）≤0．

∴-3≤log[1/2]x≤-[3/2]．

即log[1/2]（[1/2]）^-3≤log[1/2]x≤log[1/2]（[1/2]）-[3/2]

∴（[1/2]）-[3/2]≤x≤（[1/2]）^-3，即2

2≤x≤8．

从而M=[2

2，8]．

又f（x）=（log₂x-1）（log₂x-3）=（log₂x）²-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1．

∵2

2≤x≤8，

∴[3/2]≤log₂x≤3．

∴当log₂x=2，即x=4时y_min=-1；

当log₂x=3，即x=8时，y_max=0．

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 先解不等式求出解集为M，再利用对数函数的性质和二次函数的最值求函数f（x）=（log2[x/2]）•（log2[x/8]）的最大值和最小值．