Question

一个物体质量为m,可看作质点,在光滑水平面上以初速度v运动,所受空气阻力f满足f=kv,k为比例系数.求物体运动的路程和

Answer 1

加速度 a = f/m = -kv/m

dv = adt , dv = -kv/mdt , 分力变量 dv/v = -k/mdt

两边积分 ∫ (v0→v)dv/v = ∫ (0→t)-k/mdt

得 ln(v/v0) = -k t/m , 即 v = v0*exp(-kt)

可见,当t→∞时,v→0

s = ∫ vdt = ∫ (0→t) v0*exp(-kt)dt

= v0*m/k*(1-*exp(-kt))

可见,当物体停止运动t→∞时,v→0时,路程 s 为 v0*m/k .

理论上是无穷长时间才会停下来,但是速度v = v0*exp(-kt)包含有e的负指数表达式,可能用不了多长时间速度就接近零了.