△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z²

4个回答

  • 证明:下面给出更一般的结论.

    设P是任意△ABC中的一个动点,P到△ABC的三边BC,CA,AB的距离分别是X、Y、Z,令BC=a,CA=b,AB=c,S是△ABC的面积.

    根据面积公式,显然有:

    a*X+b*Y+c*Z=2S (1)

    由柯西不等式得:

    (a^2+b^2+c^2)*(X^2+Y^2+Z^2)≥(a*X+b*Y+c*Z)^2==4S^2

    所以有

    X^2+Y^2+Z^2≥4S^2/(a^2+b^2+c^2) (2)

    当且仅当P为△ABC的类似重心时等号成立.

    因此对于任意△ABC,X^2+Y^2+Z^2的最小值为:

    4S^2/(a^2+b^2+c^2).

    根据(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)

    S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =15(√7)/2,从而得出最小值225/11.