利用有理数和无理数的主要区别,可以证明√5是无理数.
证明：假设√5不是无理数,而是有理数.
既然√5是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式：
√5=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式.
把 √5=p/q 两边平方
得 5=(p^2)/(q^2)
即 5(q^2)=p^2
由于5q^2是5的倍数,p 必定为5的倍数,设p=5m
由 5(q^2)=25(m^2)
得 q^2=5m^2
同理q必然也为5的倍数,设q=5n
既然p和q都是5的倍数,他们必定有公因数5,这与前面假设p/q是既约分数矛盾.这个矛盾是有假设√5是有理数引起的.因此√5是无理数