如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD

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  • 解题思路:(1)由OD⊥AC OD为半径,根据垂径定理,即可得CD=AD,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得BD平分∠ABC;(2)首先由OB=OD,易求得∠AOD的度数,又由OD⊥AC于E,可求得∠A的度数,然后由AB是⊙O的直径,根据圆周角定理,可得∠ACB=90°,继而可证得BC=OD.

    证明:(1)∵OD⊥AC OD为半径,

    CD=

    AD,

    ∴∠CBD=∠ABD,

    ∴BD平分∠ABC;

    (2)∵OB=OD,

    ∴∠OBD=∠0DB=30°,

    ∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°,

    又∵OD⊥AC于E,

    ∴∠OEA=90°,

    ∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°,

    又∵AB为⊙O的直径,

    ∴∠ACB=90°,

    在Rt△ACB中,BC=[1/2]AB,

    ∵OD=[1/2]AB,

    ∴BC=OD.

    点评:

    本题考点: 圆周角定理;含30度角的直角三角形;垂径定理.

    考点点评: 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.