Question

f在[a,b]连续,且有唯一最小值点x0,{xn}为[a,b]中的数列,且{f(xn)}收敛于f(x0),证明{xn}收

Answer 1

证明(用手机打的,只说主要的,我用的是反证法):步骤1:若xn不收敛于x0,则其等价的描述为:存在确定的常数m>0,使得对任意N>0(即不论N多么大),总存在n>N,使得/xn-x0/>=m 步骤2:因函数在[a,b]连续,则必然有函数在[a,x0-m]与[x0+m,b]连续,则函数在两个区间上分别有两个最小值,令P为两个最小值中较小的一个,则必有P>f(x0),并令r=P-f(x0) 步骤3:f(xn)收敛于f(x0),其等价描述为:对任意t>0,总存在关于t的N1>0,使得任意n>N1,有/f(xn)-f(x0)/=P,与任意n>N1,f(xn)