Question

设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点坐标为（an，0）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求a_n的表达式；

（Ⅱ）求出b_n=

1-

a

n

+n•

2

n

n

的表达式，利用分组求和和裂项法即可求数列{b_n}的前n项和S_n．

（Ⅰ）∵y=xⁿ⁺¹，

∴y′=（n+1）xⁿ，函数在点（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），

令y=0，解得an=1-

1

n+1=

n

n+1．

（Ⅱ）b_n=

1-an+n•2n

n=[1

n(n+1)+2n=

1/n]-

1

n+1+2ⁿ，

则数列{b_n}的前n项和S_n=（1-

1

2+

1

2-

1

3+…+[1/n]-

1

n+1）+（2+2²+…+2ⁿ）

=1-

1

n+1+

2•(1-2n)

1-2=[n/n+1+2n+1-2=2n+1-

n+2

n+1]．

点评：

本题考点： 数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查导数的概念及其几何意义，考查了数列的概念和裂项求和及等比数列求和方法；考查运算求解的能力以及化归与转化的思想．