Question

已知a,b互质,a,c互质,证明a与bc乘积互质.如何证明?

Answer 1

互质的另一种定义是这样的：

(a,b)=1等价于存在整数u、v使得ua+vb=1.

这也是一个定理.

这样的话

(a,b)=1推出存在整数u、v使得ua+vb=1.

(a,c)=1推出存在整数s、t使得sa+tc=1.

所以bc=(1-ua)/v * (1-sa)/t.

vtbc=(1-ua)(1-sa)=1-ua-sa+usa^2.

a*(u+s-usa)+bc*vt=1.

所以(a,bc)=1.