如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ADC=60°的菱形,M为PB

1个回答

  • (1)取DC的中点O,

    由ΔPDC是正三角形,有PO⊥DC

    又∵平面PDC⊥底面ABCD,

    ∴PO⊥平面ABCD于O

    连结OA,则OA是PA在底面上的射影

    ∴∠PAO就是PA与底面所成角

    ∵∠ADC=60°,由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形,

    从而求得OA=OP=

    ∴∠PAO=45°

    ∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°。

    (2)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°,

    DC=2,DO=1,有OA⊥DC

    建立空间直角坐标系如图,则

    由M为PB中点

    ∴PA⊥DM,PA⊥DC

    ∴PA⊥平面DMC;

    (3)

    令平面BMC的法向量

    从而x+z=0; ……①

    从而

    由①、②,取x=-1,则

    ∴可取

    由(2)知平面CDM的法向量可取

    ∴所求二面角的余弦值为-