Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和 双曲线x2/m2-y2/n2=1(m,n>0)有公共焦点F1,F2,

Answer 1

不妨设P点在双曲线右支,则由椭圆及双曲线定义得:

|PF1|+|PF2|=2a①,|PF1|-|PF2|=2m②,

由①②得:|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,

又a²-b²=m²+n²=c²,

∴cos∠F1PF2=(|PF1|²+|PF2|²-|F1F2|²)/2|PF1|·lPF2l

=[(a+m)²+(a-m)²-(2c)²]/2(a+m)(a-m)

=[(a²-c²)+(m²-c²)]/(a²-m²)

=(b²-n²)/(b²+n²),sin∠F1PF2=2bn/(b²+n²),

∴tan½∠F1PF2=(1-cos∠F1PF2)/sin∠F1PF=n/b,

∴∠F1PF2=2arc tan(n/b),

ΔF1PF2面积=½lPF1l·lPF2l·sin∠F1PF2

=½(a+m)(a-m)·2bn/(b²+n²)

=bn(a²-m²)/(a²-m²)=bn.