Question

已知M（x1,y1),N（x2,y2)是直线l：Ax+By+C=0外的两点,且直线MN交l于P点,求P点分向量MN的比λ

Answer 1

设 z1=Ax1+by1+C,z2=Ax2+By2+C

由于点M,N不在直线L上,故：z1,z2均不为零.

(1) 若z1,z2异号,则M,N在L的异侧,这时直线MN与L的交点P,为线段MN的内分点,

比值[MP/PN]>0.

从M,N分别向L作垂线,垂足分别为R,S.

则由几何定理,有：

|MP|/|PN|=|MR|/|NS|

|MR|为M点到直线L的距离,

|NS|为N点到直线L的距离,

按点到直线的距离的公式,有

|MR|=|Ax1+By1+C|/根号(A^2+B^2)

|NS|=|Ax2+By2+C|/根号(A^2+B^2)

故:MP/PN=|MR|/|NS|=

=|Ax1+By1+C|/|Ax2+By2+C|

=|[(Ax1+By1+C)/(Ax2+By2+C)]|

(2) 若z1,z2同号,则M,N在L的同侧,这时直线MN与L的交点P,为线段MN的外分点,

比值MP/PN