题目 (1)在1,2,3,4四个数的前面添加正号或负号,使它们的和为0；
(2)在1,2,3,…,11,12十二个数的前面添加正号或负号,使它们的和为零；
(3)在1,2,3,4,…,99,100一百个数的前面添加正号或负号,使它们的和为0；
(4) 在解决这个问题的过程中,你能总结出一些什么数学规律?
参考答案 我们不妨不妨以第二问为例探讨,比如,在12,11,10,5这四个数的前面添加负号,则这12个数的和是：－12－11－10＋9＋8＋7＋6－5＋4＋3＋2＋1＝2．
现在我们将各数的符号加以调整,考虑到将一个正数变号,其和就要减少这个正数的两倍,因此可得到两个(明显的)
(1)得＋1变为－1,有－12－11－10＋9＋8＋7＋6－5＋4＋3＋2－1＝0； ①
(2)将(+6-5)变为-(6-5),有-12-11-10+9+8+7-6+5+4+3+2+1＝0．②
又如,在11,10,8,7,5这五个数的前面添加负号,得
12－11－10－9－8－7＋6－5＋4＋3＋2＋1＝－4,
我们就有多种调整的方法,如将－8与＋6变号,有
12－11－10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2＋1＝0． ③
经过几次试验,我们发现了规律：欲使十二个数的和为零,其中正数的和的绝对值与负数的和的绝对值必须相等．但
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝78
因此我们应该使各正数的和的绝对值与各负数的和的绝对值均为
为了简便起见,我们把①式所表示的一个解答记为(12,11,10,5,1),那么②,③两式所表示的解答就分别记为(12,11,10,6)与(11,10,7,6,5)．
同时我们还发现：如果(12,11,10,5,1)是一个解答,那么(9,8,7,6,4,3,2)也必定是一个解答．同样,对应于②,③两式,还分别有另两个(9,8,7,5,4,3,2,1)与(12,9,8,4,3,2,1)．这个规律我们不妨叫做对偶律.
此外我们还可发现,由于最大的三个数12,11,10其和33＜39,因此必须再增加一个数6,才有解答(12,11,10,6),也就是说：添加负号的数至少要有四个；反过来,根据对偶律得：添加负号的数最多不超过八个．
掌握了上述几条规律,我们就能够在很短的时间内得到许多解答．最后让我们告诉你,第(2)问的解答个数并非无数多,其总数是124个