解题思路:(1)方程有两个不相等的实数根,则△>0,建立关于n,k的不等式,结合不等式的性质,证出结论;
(2)根据根与系数的关系,把x1+x2=k代入已知条件(2x1+x2)2-8(2x1+x2)+15=0,即可用k的代数式表示x1;
(3)首先由(1)知n<-[3/4]k2,又n=-3,求出k的范围.再把(2)中求得的关系式代入原方程,即可求出k的值.
证明:(1)∵关于x的方程x2-kx+k2+n=0有两个不相等的实数根,
∴△=k2-4(k2+n)=-3k2-4n>0,
∴n<-[3/4]k2.
又-k2≤0,
∴n<0.
(2)∵(2x1+x2)2-8(2x1+x2)+15=0,x1+x2=k,
∴(x1+x1+x2)2-8(x1+x1+x2)+15=0
∴(x1+k)2-8(x1+k)+15=0
∴[(x1+k)-3][(x1+k)-5]=0
∴x1+k=3或x1+k=5,
∴x1=3-k或x1=5-k.
(3)∵n<-[3/4]k2,n=-3,
∴k2<4,即:-2<k<2.
原方程化为:x2-kx+k2-3=0,
把x1=3-k代入,得到k2-3k+2=0,
解得k1=1,k2=2(不合题意),
把x2=5-k代入,得到3k2-15k+22=0,△=-39<0,所以此时k不存在.
∴k=1.
点评:
本题考点: 根与系数的关系;一元二次方程的解;解一元二次方程-因式分解法;根的判别式.
考点点评: 本题综合考查了一元二次方程的解法、一元二次方程根的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系以及分类讨论的思想.