已知关于x的方程x2-kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1、x2,且(2x1+x2)2-8(2x1+x2)+15=

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  • 解题思路:(1)方程有两个不相等的实数根,则△>0,建立关于n,k的不等式,结合不等式的性质,证出结论;

    (2)根据根与系数的关系,把x1+x2=k代入已知条件(2x1+x22-8(2x1+x2)+15=0,即可用k的代数式表示x1

    (3)首先由(1)知n<-[3/4]k2,又n=-3,求出k的范围.再把(2)中求得的关系式代入原方程,即可求出k的值.

    证明:(1)∵关于x的方程x2-kx+k2+n=0有两个不相等的实数根,

    ∴△=k2-4(k2+n)=-3k2-4n>0,

    ∴n<-[3/4]k2

    又-k2≤0,

    ∴n<0.

    (2)∵(2x1+x22-8(2x1+x2)+15=0,x1+x2=k,

    ∴(x1+x1+x22-8(x1+x1+x2)+15=0

    ∴(x1+k)2-8(x1+k)+15=0

    ∴[(x1+k)-3][(x1+k)-5]=0

    ∴x1+k=3或x1+k=5,

    ∴x1=3-k或x1=5-k.

    (3)∵n<-[3/4]k2,n=-3,

    ∴k2<4,即:-2<k<2.

    原方程化为:x2-kx+k2-3=0,

    把x1=3-k代入,得到k2-3k+2=0,

    解得k1=1,k2=2(不合题意),

    把x2=5-k代入,得到3k2-15k+22=0,△=-39<0,所以此时k不存在.

    ∴k=1.

    点评:

    本题考点: 根与系数的关系;一元二次方程的解;解一元二次方程-因式分解法;根的判别式.

    考点点评: 本题综合考查了一元二次方程的解法、一元二次方程根的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系以及分类讨论的思想.