已知圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点且SM=x,从点M拉一绳子,围绕圆锥侧面转到点A.

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  • 解题思路:(1)算出侧面展开扇形圆心角α=90°,因此将圆锥侧面展开,可得绳子的最短长度为Rt△ASM中斜边AM的长,由此利用勾股定理即可算出f(x)的表达式;

    (2)由平面几何性质,可得绳子最短时定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高,利用三角形面积等积变换求解,可得这个最短距离的表达式;

    (3)由于f(x)=x2+16在区间[0,4]上是一个增函数,可得当x=4时,f(x)的最大值等于32.

    (1)∵底面半径r=1,母线长l=4,

    ∴侧面展开扇形的圆心角α=[r/l×360°=90°

    因此,将圆锥侧面展开成一个扇形,从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点A,最短距离为Rt△ASM中,斜边AM的长度

    ∵SM=x,SA=4

    ∴f(x)=AM2=x2+42=x2+16

    (2)由(1)可得:绳子最短时,定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高,设这个距离等于d,

    则d=

    SM•AS

    AM]=

    4x

    x2+16;

    (3)∵f(x)=x2+16,其中0≤x≤4

    ∴当x=4时,f(x)的最大值等于32.

    点评:

    本题考点: 多面体和旋转体表面上的最短距离问题;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).

    考点点评: 本题在圆锥的表面拉一根绳子,求绳子长度的最小值.着重考查了圆锥的侧面展开、勾股定理与三角形面积公式等知识,属于基础题.