证明：
延长ND到E,使DE=DN,连接BE
∵BD=CD,∠BDE=∠CDN
∴⊿BDE≌⊿CDN（SAS）
∴BE=CN,∠EBD=∠C
∵DM⊥DN
∴∠MDE=90º
连接ME
则ME²=DM²+DE²=DM²+DN²
∵BM²+CN²=BM²+BE²=DM²+DN²
∴BM²+BE²=ME²
∴∠MBE=90º
∴∠ABC+∠EBD=∠ABC+∠C=90º
∴∠BAC=90º
∴AD=½BC【直角三角形斜边中线等于斜边的一半】
∴AD²=¼BC²
∵BC²=AB²+AC²
∴AD²=¼（AB²+AC²）