Question

设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,若A*=AT,求A

Answer 1

因为A*=A^T

所以 aij=Aij 其中Aij是aij的代数余子式。

又A为非零矩阵，不妨设a11不为零，

将A的行列式|A|按第一行展开，得

|A|=a11A11+a12A12+,,,,,,+a1nA1n=a11^2+a12^2+......+a1n^2>0

又|A*|=|A|^(n-1)

所以|A*|=|A^T|=|A|=|A|^(n-1)

故 （|A|-1)|A|^(n-1)=0

|A|=0或|A|=1

但由上知道|A|>0

所以|A|=1