Question

已知直线l：y=kx，圆C：x 2 +y 2 -2x-2y+1=0，直线l交圆于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ

Answer 1

（1）∵C：x ²+y ²-2x-2y+1=0∴b=1时，点M（0，1）在圆上．又MP⊥MQ，圆心（1，1）在直线直线l：y=kx上，故k=1

（2）设P（x ₁，y ₁），Q（x ₂，y ₂）．

联立方程组，

y=kx

x 2 + y 2 -2x-2y+1=0. ⇒（1+k ²）x ²-2（1+k）x+1=0， ⇒ x 1 + x 2 =

2(1+k)

1+ k 2 ， x 1 x 2 =

1

1+ k 2 ．

∵MP⊥MQ∴

MP •

MQ =0 ，即x ₁x ₂+（y ₁-b）（y ₂-b）=0．

又y ₁=kx ₁，y ₂=kx ₂，∴（1+k ²）x ₁x ₂-kb（x ₁+x ₂）+b ²=0，

∴ (1+ k 2 )

1

1+ k 2 -kb

2(1+k)

1+ k 2 + b 2 =0.

当b=0时，此式不成立，

从而 b+

1

b =

2 k 2 +2k

1+ k 2 =2+

2(k-1)

(k-1) 2 +2(k-1)+2 . ．

又∵k＞3，令t=k-1＞2，∴ b+

1

b =2+

2

t+

2

t +2 .

令函数 g(t)=t+

2

t +2 ，当t＞2时， g′(t)=1-

2

t 2 ＞0 ，g（t）＞5，从而 2＜b+

1

b ＜

12

5 .

解此不等式，可得

6-

11

5 ＜b＜1 或 1＜b＜

6+

11

5 .