Question

（2010•宣武区一模）设{a}是正数数列，其前n项和Sn满足Sn=[1/4]（an-1）（an+3）．

Answer 1

解题思路：（1）由题设条件得a₁=3，

a

n

＝

1

4

(

a

2

n

−

a

2

n−1

)+2(

a

n

−

a

n−1

)

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

（2）由（1）知S_n=n（n+2），所以

b

n

＝

1

S

n

＝

1

2

(

1

n

−

1

n+2

)

，再用裂项求和法求出数列{b_n}的前n项和T_n，由此能求出

lim

n→∞

T_n．

（1）由a₁=S₁=

1/4(a1−1)(a1+3)，及a_n＞0，得a₁=3

由Sn＝

1

4(an−1)(an+3)得Sn−1＝

1

4(an−1−1)(an−1+3)．

∴当n≥2时，an＝

1

4(

a2n−

a2n−1)+2(an−an−1)

∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，

∴{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=2n+1

（2）由（1）知S_n=n（n+2）∴bn＝

1

Sn＝

1

2(

1

n−

1

n+2)，

T_n=b₁+b₂+…+b_n

＝

1

2(1−

1

3+

1

2−

1

4++

1

n−1−

1

n+1+

1

n−

1

n+2)

=

1

2[

3

2−

2n+3

(n+1)(n+2)]=

3

4−

2n+3

2(n+1)(n+2)]

∴

lim

n→∞Tn＝

lim

n→∞[

3

4−

2n+3

2(n+1)(n+2)]＝

3

4(13分)

由

an+bn

2＜0，得a1+(

点评：

本题考点： 数列的极限；等差数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的极限和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和的灵活运用．