Question

当x趋向于0时,求[cos(根号x)]的1/x次方的极限.

Answer 1

lim[x->0](cos√x)^(1/x)

=lim[x->0]e^(ln(cos√x)/x)

=lim[x->0]e^(ln(1-sin²√x)/(2x))

=lim[x->0]e^((ln(1-sin²√x)/(-sin²√x)*(-sin²√x)/(2x))(注意lim[u->0]ln(1+u)/u=1)

=lim[x->0]e^(-((sin√x)/√x)^2/2)(注意lim[u->0]sinu/u=1)

=e^(-1/2)

=1/√e