Question

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面长均为2，D为BC中点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）证明AD⊥平面B₁BCC₁，利用线面垂直的判定，证明CC₁⊥AD，BC⊥AD，即可‘

（Ⅱ）连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD，利用OD为△A₁BC中位线，可得A₁B∥OD，利用线面平行的判定，可证A₁B∥平面ADC₁；

（Ⅲ）利用等体积V_C1-ADB1=V_A-C1DB1，可得结论．

（Ⅰ）证明：因为ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC

因为AD⊂平面ABC，所以CC₁⊥AD

因为△ABC是正三角形，D为BC中点，所以BC⊥AD，…（4分）

因为CC₁∩BC=C，所以AD⊥平面B₁BCC₁．…（5分）

（Ⅱ）证明：连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD．

由 ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，得四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点．

又D为BC中点，所以OD为△A₁BC中位线，

所以A₁B∥OD，…（8分）

因为A₁B⊄平面ADC₁，OD⊂平面ADC₁，

所以A₁B∥平面ADC₁；（10分）

（Ⅲ）V_C1-ADB1=V_A-C1DB1=

1

3S△C1DB1×AD＝

1

3×

1

2×2×2×

3=

2

3

3．…（14分）

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查线面垂直，考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，掌握线面垂直、线面平行的判定是关键．