Question

三角形ABC中,D,E,F分别是内切圆的切点,过点F作FP垂直DE,求证角DBP=角ECP

Answer 1

如图,作∠A的平分线交DE于H、交BC于G,延长FP交AC于Q.

则AG垂直平分DE,AG‖QF.

设AE=AD=a, BD=BF=b, CE=CF=c, AQ=x, PH=y, FG=z, EH=HD=m.

AG为三角形ABC的角平分线,则有AB/AC=BG/CG,即(a+b)/(a+c)=(b-z)/(c+z).

化解得：z=a(b-c)/(2a+b+c) ------(1)

因QF‖AG,则有CA/QA=CG/FG,即(a+c)/x=(c+z)/z,

将(1)代人上式并化简,得：x=a(b-c)/(b+c) ------(2)

因QP‖AH,则有EH/PH=EA/QA,即m/y=a/x,变换后得：(m-y)/(m+y)=(a-x)/(a+x).

将(2)代人上式并化简,得：(m-y)/(m+y)=c/b,即:EP/PD=EC/DB.

在△CEP和△BDP中：已证EP/PD=EC/DB,另有∠CEP=∠BDP,故两者相似；

从而证得：∠DBP=∠ECP.