解题思路：（1）根据圆周角定理可知∠BCP=∠A，由三角形内角和定理即可求出答案；
（2）根据圆周角定理可知∠BCP=∠A=30°，则∠ACP=120°，∠P=30°，连接OC，则OA=OB=BP=BC，故PA=3PB；
（3）若∠A不可以等于45°，根据圆周角定理可知∠1=45°，过点C的切线与AB平行；
（4）若∠A＞45°，则根据圆周角定理可知∠1＞45°，∠PCA＜45°，过点C的切线与直线AB的交点P在AB的反向延长线上．
（1）∠BCP=∠A，∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCP=[90°−∠P/2]；（3分）
（2）若∠A=30°，
∴∠BCP=∠A=30°，
∴∠P=30°
∴PB=BC，BC=[1/2]AB⇒PB=[1/3]PA或PA=3PB；（6分）
（3）∠A不可以等于45°，
如图所示，当∠A=45°时，过点C的切线与AB平行；（8分）
（4）若∠A＞45°，则过点C的切线与直线AB的交点P在AB的反向延长线上．
点评：
本题考点： 切线的性质；圆周角定理．
考点点评： 本题考查的是圆周角定理及平行线的性质，属较简单的题目．