Question

若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证√(a+5)+√(b+5)+√(c+5)≤4√3

Answer 1

令x=√（a+5),∴x²=a+5

y=√（b+5),∴y²=b+5

Z=√（c+5),∴Z²=c+5

x²+y²+z²=a+b+c+15=16 ①

∵(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²≥0

即2（x²+y²+z²）-2（xy+yz+xz）≥0

∴x²+y²+z²≥xy+yz+xz ②

由（x+y+z）²=（x²+y²+z²）+2（xy+yz+xz）≤3（x²+y²+z²）

∴（x+y+z）²≤48

得x+y+z≤4√3,

原不等式得证.