Question

已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+1/ an-1(n≥2), 求证：对任意 n∈N*,n＜1,不等式根号下…

Answer 1

a(n+1)=an+1/an

使用数学归纳法,先证an>√(2n-1)

1)当n=2时,an=2,√(2n-1)=√3命题成立

2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,即ak>√(2k-1)

则当n=k+1时,

因为ak>√(2k-1)>1

所以a(k+1)=ak+1/ak>√(2k-1)+1/√(2k-1)=2k/√(2k-1)

而√(2k-1)*√(2k+1)=√(4k^2-1)√(2k+1)

命题成立

综上1)2)可得,命题对一切整数n≥2时成立

对an1这个条件,因为y=x+1/x在只有[1,+∞)才是单调的.