Question

设集合Pn={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得P₄={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）

（2）任取偶数x∈p_n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数，可求

解（1）当n=4时，P₄={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}

故f（4）=4

（2）任取偶数x∈p_n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，

于是x=m•2^k，其中m为奇数，k∈N^*

由条件可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数

若m∉A，则x∈A⇔k为奇数

于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q_n是P_n中所有的奇数的集合

因此f（n）等于Q_n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P_n中奇数的个数是[1/2n（或

1+n

2]）

∴f(n)＝

2

n

2，n为偶数

2

n+1

2，n为奇数

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．

考点点评： 本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义