Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），K（4，0）过点A的直线y=kx-4交y轴于点N．过K点且垂直于x轴的直线与

Answer 1

解题思路：（1）△AMN的形状是等腰直角三角形，理由是：由题意得N（0，-4）把A（12，0）代入y=2x+b求出直线AMy=2x-24，求出M（4，-16），根据勾股定理求出AM2、AN2、MN2，得到AN2+MN2=AM2和AN=MN即可；（2）存在，把A（12，0）代入y=kx-4．求出k，设直线l的解析式为y=13x+b．（Ⅰ）以点E为直角顶点如图1．①根据题意，点M（4，-16）符合要求；②过P作PQ⊥y轴．证Rt△ODE≌Rt△QEP．得到OE=PQ=4，QE=OD．求出OQ=8即可；（Ⅱ）以点D为直角顶点．同理得到P（4，6）（4，-3）；综合以上结论即可得出答案．

（1）△AMN的形状是等腰直角三角形，

理由是：∵y=kx-4过点A（12，0）．

∴k=[1/3]，

∴y=[1/3]x-4，

∴N（0，-4），

把A（12，0）代入y=2x+b得b=-24，

∴直线AM为y=2x-24，

当x=4时，y=-16，

∴M（4，-16），

∴AM²=（12-4）²+16²=320，

AN²=12²+4²=160，

MN²=4²+（16-4）²=160，

∴AN²+MN²=160+160=320=AM²，

AN=MN．

∴△AMN是等腰直角三角形．

（2）∵y=kx-4过点A（12，0）．

∴k=[1/3]，

∵直线l与y=[1/3]x-4平行，

∴设直线l的解析式为y=[1/3]x+b．

则它与x轴的交点D（-3b，0），与y轴交点E（0，b）．

∴OD=3OE．

（Ⅰ）以点E为直角顶点时，

①根据题意，点M（4，-16）符合要求；

②过P作PQ⊥y轴，

当△PDE为等腰直角三角形时，

有Rt△ODE≌Rt△QEP．

∴OE=PQ=4，QE=OD．

∵在Rt△ODE中，OD=3OE，

∴OD=12，QE=12．

∴OQ=8．

∴点P的坐标为（4，-8）

（Ⅱ）以点D为直角顶点．

同理得到P（4，6），P（4，-3）．

综上所得：满足条件的P的坐标为（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）．

点评：

本题考点： 一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定；勾股定理；等腰直角三角形；平移的性质．

考点点评： 本题主要考查对等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，图形的平移的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．分类讨论思想的运用．