Question

（2013•工业园区模拟）如图，⊙O的半径长为5，OC垂直弦AB于点C，OC的延长线交⊙O于点E，与过点B的⊙O的切线交

Answer 1

解题思路：（1）利用切线的性质以及勾股定理得出AB的长，进而利用△BOC∽△OBF，得出即可；

（2）首先得出△BCO∽△FCB，进而用x表示出FC的长，即可利用二次函数最值求法得出即可．

（1）EC=2，则CO=5-2=3，

∵CO⊥AB，

∴AB=2CB，在Rt△BCO中，BO=5，

∴BC=

OB2−OC2=

52−32=4，

∴AB=8，

∵BF为⊙O的切线，

∴OB⊥BF，在△BOC和△OBF中

∵∠OCB=∠FBO=90°，∠BOC=∠BOF，

∴△BOC∽△OBF，

∴[OC/BO]=[BC/BF]，

∴[3/5]=[4/BF]，

解得：BF=[20/3]；

（2）∵∠CBF+∠OBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，

∴∠CBF=∠BOC，又∠BCF=∠BCO=90°，

∴△BCO∽△FCB，

∴[BC/OC]=[FC/BC]，

∴BC²=OC×FC，

∵OC=5-x，OB=5，

∴BC²=BO²-CO²=25-（5-x）²，

∴25-（5-x）²=CO×FC=（5-x）×FC，

∴FC=

10x−x2

5−x，

∴EF×CO²=（FC-EC）×CO²

=（

10x−x2

5−x-x）（5-x）²

=5x（5-x）

=5[-（x-[5/2]）²+[25/4]]

=-5（x-[5/2]）²+[125/4]，

∴EF×CO²的最大值为[125/4]．

点评：

本题考点： 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质等知识，根据已知得出△BCO∽△FCB，进而表示出FC的长是解题关键．