(2010•柳州)如图,AB为⊙O的直径,且弦CD⊥AB于E,过点B的切线与AD的延长线交于点F.

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  • 解题思路:(1)连接AC.欲求MN⊥BC,只需证MN∥AC即可.由于直径AB⊥CD,由垂径定理知E是CD中点,而M是AD的中点,故EM是△ACD的中位线,可得ME(即MN)∥AC,由此得证.

    (2)由于∠A、∠C所对的弧相同,因此cosA=cosC,由此可得BF、AF、AB的比例关系,用未知数表示出它们的长.

    连接BD,证△BDF∽△ABF,根据所得比例线段即可求得未知数的值(也可利用切割线定理求解),从而得到直径AB的长,也就能求出⊙O的半径.

    (1)证明:

    (方法一)连接AC.

    ∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CD于E,

    由垂径定理得,点E是CD的中点;

    又∵M是AD的中点,

    ∴ME是△DAC的中位线,

    ∴MN∥AC.

    ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.

    ∴∠MNB=90°,即MN⊥BC;

    (方法二)∵AB⊥CD,∴∠AED=∠BEC=90°.

    M是AD的中点,

    ∴ME=AM,即有∠MEA=∠A.

    ∵∠MEA=∠BEN,∠C=∠A,

    ∴∠C=∠BEN.

    又∵∠C+∠CBE=90°,

    ∴∠CBE+∠BEN=90°,

    ∴∠BNE=90°,即MN⊥BC;

    (方法三)∵AB⊥CD,∴∠AED=90°.

    由于M是AD的中点,

    ∴ME=MD,即有∠MED=∠EDM.

    又∵∠CBE与∠EDA同对

    AC,∴∠CBE=∠EDA.

    ∵∠MED=∠NEC,

    ∴∠NEC=∠CBE.

    ∵∠C+∠CBE=90°,

    ∴∠NEC+∠C=90°,

    即有∠CNE=90°,即MN⊥BC.

    (2)连接BD.

    ∵∠BCD与∠BAF同对

    BD,∴∠C=∠A,

    ∴cos∠A=cos∠C=[4/5].

    ∵BF是⊙O的切线,∴∠ABF=90°.

    在Rt△ABF中,cos∠A=[AB/AF]=[4/5],

    设AB=4x,则AF=5x,由勾股定理得:BF=3x.

    ∵AB是⊙O的直径,∴BD⊥AD,

    ∴△ABF∽△BDF,

    ∴[BF/AF=

    DF

    BF],

    即[3x/5x=

    3

    3x],

    x=[5/3].

    ∴直径AB=4x=4×[5/3=

    20

    3],

    则⊙O的半径为[10/3].

    点评:

    本题考点: 锐角三角函数的定义;勾股定理;三角形中位线定理;垂径定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质等知识,难度适中.