Question

黎曼和介值性证明黎曼和的介值性证明即对任意给定的分法 对任意x属于达布上下和之间 存在一种取法使得黎曼和等于x

Answer 1

感觉这个定理不太对吧（由于没有在相关教材上找到这个定理,所以也不敢肯定,有不同观点欢迎讨论）.如果f(x)在[a,b]上有间断点x0,那么既然定理要求对任意给定的分法,那么“不分”（即分点的个数n=0）也可以算是一种分法P0,这时达布上和U(f,P0)=maxf(x)*(b-a),达布下和L(f,P0)=minf(x)*(b-a),由于f在x0间断,显然不可能使得f(x)取到maxf(x)和minf(x)之间的任意值,从而黎曼和f(ξ)(b-a)就不具有介值性了.我觉得你的这个说法有两个可能改进的方式,首先如果f(x)是[a,b]上的连续函数,这个结果就是显然的了.如果不要求f连续,可以把“对任意给定的分法”改为“存在这样一种分法”,那么可以在取分割时把f(x)在[a,b]时所有的间断点作为分点,这样在每个小区间内f还是连续的,从而根据连续函数的介值定理可以加以证明.