Question

平行六面体ABCD=A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=1，AD=2，AA 1 =3．∠BAD=90°，∠BAA

Answer 1

由题意，如图，作A ₁O⊥底面于O，作OE垂直AB于E，OF垂直AD于F，连接A ₁F，A ₁E，

由于，∠BAA ₁=∠DAA ₁=60°，故有△A ₁FA≌△A ₁EA，即A ₁F=A ₁E

从而有△A ₁FO≌△A ₁EO，即有OF=OE，由作图知，O在角DAB的角平分线上，

又底面是矩形，故角DAO=角BAO=45°，

又AB=1，AD=2，AA ₁=3，∠BAA ₁=∠DAA ₁=60°，

∴A ₁F=A ₁E=

3

3

2 ，AE=AF=

3

2 ，于是有AO=

3

2

2 ，

在直角三角形A ₁OA中，解得A ₁O=

3

2

2

在图中作C ₁H垂直底面于H，作HR垂直DC延长线与R，由几何体的性质知，HR=CR=

3

2 ，A ₁O=C ₁H=

3

2

2

连接AH，得如图的直角三角形ASH，直角三角形AHC ₁，由已知及上求解得AS=

5

2 ，SH=

7

2

∴AC ₁ ²=AH ²+C ₁H ²=AS ²+SH ²+C ₁H ²=

25

4 +

49

4 +

18

4 =

92

4 =23

∴AC ₁=

23