解题思路：（Ⅰ）先求导，利用导数来求出函数的极值，
（Ⅱ）先求导，再分a≥0，a＜0进行讨论，利用导数求出函数的单调区间，函数g（x）=
（Ⅲ）由题意得到g（x）=
1/2]x2+alnx+[1/x]，求导得到g′（x）=x+[a/x]-[1
x
2
，函数g（x）=f（x）+
1/x]在[1，+∞）上是增函数，转化为a≥[1/x]-x2在[1，+∞）上恒成立，再设设h（x）=[1/x]-x2，利用导数求出函数的最大值，得到a的取值范围．
（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=[1/2]x2-lnx，x＞0，
∴f′（x）=x-[1/x]=
(x+1)(x-1)
x
令f′（x）=0，解得x=1，
当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故当x=1时，函数有极小值，极小值为f（1）=[1/2]；
（Ⅱ）∵f′（x）=x+[a/x]=
x2+a
x，
当a≥0时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＜0时，
令f′（x）=
x2+a
x=0，解得x=
-a，
当x＞
-a时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜
-a时，f′（x）＜0，函数单调递减，
综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为（
-a，+∞），单调减区间为（0，
-a），
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）+[1/x]，
∴g（x）=f（x）+[1/x]，
∴g（x）=[1/2]x2+alnx+[1/x]，
∴g′（x）=x+[a/x]-[1
x
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查了导数与函数的单调性，极值，最值的关系，以及求参数的取值范围的问题，考查了分类讨论的思想，转化思想，属于中档题．
1年前
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