设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数

1个回答

  • 解题思路:根据隐函数求导法则以及符合函数求导法则即可求解.

    因为y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数

    等式z=xf(x+y)两边对x求导得:

    [dz/dx]=[xf(x+y)]'=f(x+y)+xf'(x+y)(x+y)'

    =f(x+y)+xf'(x+y)(1+[dy/dx])

    即:[dz/dx]=f(x+y)+xf'(x+y)(1+[dy/dx])

    等式F(x,y,z)=0两边对x求导得:

    ∂F(x,y,z)

    ∂x+

    ∂F(x,y,z)

    ∂y[dy/dx]+

    ∂F(x,y,z)

    ∂z[dz/dx]=0

    根据等式:

    ∂F(x,y,z)

    ∂x+

    ∂F(x,y,z)

    ∂y[dy/dx]+

    ∂F(x,y,z)

    ∂z[dz/dx]=0

    以及等式:[dz/dx]=f(x+y)+xf'(x+y)(1+[dy/dx])

    可以解得:

    [dz/dx]=

    [f(x+y)+xf′(x+y)]

    ∂F(x,y,z)

    ∂y−xf′(x+y)

    F(x,y,z)

    ∂z

    ∂F(x,y,z)

    ∂y+xf′(x+y)

    F(x,y,z)

    ∂z

    点评:

    本题考点: 多元函数偏导数的求法;复合函数的求导法则;隐函数导数法则.

    考点点评: 本题主要考察二元函数的偏导数、隐函数的求导法则等知识点,计算量较复杂,容易出错.