解题思路:根据隐函数求导法则以及符合函数求导法则即可求解.
因为y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数
等式z=xf(x+y)两边对x求导得:
[dz/dx]=[xf(x+y)]'=f(x+y)+xf'(x+y)(x+y)'
=f(x+y)+xf'(x+y)(1+[dy/dx])
即:[dz/dx]=f(x+y)+xf'(x+y)(1+[dy/dx])
等式F(x,y,z)=0两边对x求导得:
∂F(x,y,z)
∂x+
∂F(x,y,z)
∂y[dy/dx]+
∂F(x,y,z)
∂z[dz/dx]=0
根据等式:
∂F(x,y,z)
∂x+
∂F(x,y,z)
∂y[dy/dx]+
∂F(x,y,z)
∂z[dz/dx]=0
以及等式:[dz/dx]=f(x+y)+xf'(x+y)(1+[dy/dx])
可以解得:
[dz/dx]=
[f(x+y)+xf′(x+y)]
∂F(x,y,z)
∂y−xf′(x+y)
F(x,y,z)
∂z
∂F(x,y,z)
∂y+xf′(x+y)
F(x,y,z)
∂z
点评:
本题考点: 多元函数偏导数的求法;复合函数的求导法则;隐函数导数法则.
考点点评: 本题主要考察二元函数的偏导数、隐函数的求导法则等知识点,计算量较复杂,容易出错.