什么是三角形?
由三条边首尾相接组成的内角和为180°的封闭图形叫做三角形 例题：已知有一△ABC,求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° 证明：做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E ∵AB‖CE（已知） ∴∠ABC=∠ECD(两直线平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行,内错角相等) ∵∠BCD=180° ∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质） ∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换） 三角形是几何图案的基本图形,几边形都是由三角形组成的. 两直线平行,同旁内角互补. 三角形的内角和 三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角. 证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明,详细参见《优因培：走进三角形》 （1）如何证明三角形的内角和 方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起,求出内角和为180° 方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线,可求出内角和为180°
编辑本段三角形分类
(1)按角度分 a.锐角三角形：三个角都小于90度 .并不是有一个锐角的三角形,而是三个角都为锐角,比如等边三角形也是锐角三角形. b.直角三角形（简称Rt 三角形）： ⑴直角三角形两个锐角互余； ⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ⑶在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.； ⑷在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）； c.钝角三角形：有一个角大于90度(锐角三角形,钝角三角形统称斜三角形). d.证明全等时可用HL方法 （2）按角分 a.锐角三角形：三个角都小于90度. b.直角三角形：有一个角等于90度. c.钝角三角形：有一个角大于90度. （锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形） （3）按边分 不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）.
编辑本段解直角三角形：
勾股定理,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边. 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数. 常见的勾股弦数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13;等等.
编辑本段解斜三角形
在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有 （1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r) （2）余弦定理. a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC （3）余弦定理变形公式 cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab
编辑本段三角形的性质
1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边. 2.三角形内角和等于180度 3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一. 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和. 6.一个三角形最少有2个锐角. 7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段. 8.等腰三角形中,等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边. 9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系（a^2+b^2=c^2.） 那么这个三角形就一定是直角三角形. 10.三角形的外角和是360°. 11.等底等高的三角形面积相等. 12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比,高相等的三角形的面积之比等于其底之比. 13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4. 14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC. 15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 16.全等三角形对应边相等,对应角相等. 17.三角形的中心在三条中线的交点上. 18在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度.
编辑本段三角形的五心、四圆、三点、一线
三角形的五心四圆三点一线
这些是三角形的全部特殊点,以及基于这些特殊点的相关几何图形.“五心”指重心（barycenter）、垂心、内心(incenter)、外心(circumcenter)和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线. 以下记三角形的三个顶点为A、B、C,相应的对边边长为a、b、c,系数K(a) = -a^2+b^2+c^2,K(b)、K(c)类推.三线坐标各分量直接乘以相应边长即可转换为面积坐标,以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平面直角坐标的方法：记某点面积坐标为(μa, μb, μc),三分量之和为μ,则有Px = (μa·Xa + μb·Xb + μc·Xc) / μ,Py类推. 五心 名称 定义 三线坐标 (内心坐标) 面积坐标 (重心坐标)
重心 三条中线(顶点到对边中点连线)的交点 1/a : 1/b : 1/c 1 : 1 : 1
垂心 三条高(顶点到对边的垂线)的交点 sec A : sec B : sec C 1/K(a) : 1/K(b) : 1/K(c) 或 tan(A) : tan(B) : tan(C)
内心 三条内角平分线的交点 1 : 1 : 1 a : b : c
外心 三边中垂线的交点 cos A : cos B : cos C a^2·K(a) : b^2·K(b) : c^2·K(c)
旁心 一内角平分线和另两角外角平分线的交点 -1 : 1 : 1,余类推 -a : b : c ,余类推
四圆 内切圆：以内心为圆心,以内心到边的距离为半径的圆,与三角形三边都相切. 外接圆：以外心为圆心,以外心到顶点的距离为半径的圆,三角形三个顶点都在圆周上. 旁切圆：以旁心为圆心,以旁心到边的距离为半径的圆,与三角形一边及另两边延长线相切. 欧拉圆：又称“九点圆”,即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆.九点圆圆心为垂心与外心连线中点,三线坐标为：cos(B - C) : cos(C - A) : cos(A - B),半径为外接圆半径的一半.内切圆与欧拉圆在某一欧拉点相切. 三点 名称 定义 三线坐标
勒莫恩点 三条顶点与内切圆切点连线的交点,又称类似重心 a : b : c
奈格尔点 三条顶点与旁切圆切点连线的交点,又称界心 csc^2(A/2) : csc^2(B/2) : csc^2(C/2)
欧拉点 三个顶点到垂心连线的中点,又称费尔巴哈点 (暂缺)
一线 垂心、重心、外心和九点圆圆心四点共线,这条直线称为欧拉线.
编辑本段三角形为什么具有稳定性
任取三角形两条边,则两条边的非公共端点被第三条边连接 ∵第三条边不可伸缩或弯折 ∴两端点距离固定 ∴这两条边的夹角固定 ∵这两条边是任取的 ∴三角形三个角都固定,进而将三角形固定 ∴三角形有稳定性 任取n边形(n≥4)两条相邻边,则两条边的非公共端点被不止一条边连接 ∴两端点距离不固定 ∴这两边夹角不固定 ∴n边形(n≥4)每个角都不固定,所以n边形(n≥4)没有稳定性
编辑本段三角形的边角之间的关系
（1）三角形三内角和等于180°（在球面上,三角形内角之和大于180°）； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； （4）三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边； （5）在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线,中线,高,中位线. （注①：等腰三角形中,顶角平分线,中线,高三线互相重叠 ②：三角形的中位线是两边中点的连线,它平行于第三边且等于第三边的一半) （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍. （10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心. （11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2. （12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角. 注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部 . ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部. ③直角三角形垂心、外心在三角形的边上.（直角三角形的垂心为直角顶点,外心为斜边中点.） ④锐角三角形垂心、外心在三角形内部. 三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,的一则应用! 《周长固定三角形面积的最大值》