Question

已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A

Answer 1

解题思路：y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，A点坐标是（x₁，2x₁²），B点坐标是（x₂，2x₂²） A，B的中点坐标是（

x

1

+

x

2

2

，

2

x

1

2

+2

x

2

2

2

） 因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直

2

x

1

2

+2

x

2

2

2

=

x

1

+

x

2

2

+m，由此能求得m．

y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，

A点坐标是（x₁，2x₁²），B点坐标是（x₂，2x₂²），

A，B的中点坐标是（

x1+x2

2，

2x12+2x22

2），

因为A，B关于直线y=x+m对称，

所以A，B的中点在直线上，

且AB与直线垂直

2x12+2x22

2=

x1+x2

2+m，

2x22−2x12

x2−x1＝−1，

x₁²+x₂²═

x1+x2

2+m，x₂+x₁=-[1/2]，

因为x1x2＝−

1

2，

所以xx₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=[5/4]，

代入得 [5/4＝−

1

4+m，求得m=

3

2]．

故选B．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．