Question

（2012•花都区一模）已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1、x2．

Answer 1

解题思路：（1）根据△的意义由方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁、x₂得到△≥0，即4（k-1）²-4k²≥0，解不等式即可得到k的取值范围；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，则y=x₁+x₂-x₁x₂+1=2（k-1）-k²+1=-（k-1）²，利用二次函数的性质，对称轴为直线k=1，当k＜1时，y随x的增大而增大，当k=[1/2]时，y的值最大，然后把k=[1/2]代入计算即可．

（1）∵方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁、x₂，

∴△≥0，即4（k-1）²-4k²≥0，解得k≤[1/2]，

即k的取值范围为k≤[1/2]；

（2）根据根与系数的关系得，x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，

y=x₁+x₂-x₁x₂+1

=2（k-1）-k²+1

=-（k-1）²，

∵当k＜1时，y随x的增大而增大，

∴当k=[1/2]时，y的值最大，

即k=[1/2]，y的最大值=-（[1/2]-1）²=-[1/4]．

点评：

本题考点： 根的判别式；根与系数的关系；二次函数的最值．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的性质．