设底面三角形为ABC,直角顶点为D.
在直角三角形BDC中过D作DE垂直交BC与E,连AE有AE垂直于BC(三垂线定理).
(1)BDC的面积S1=BC*DE/2,BAC的面积S=BC*AE/2.
于是S^2-S1^2=BC^2*(AE^2-DE^2)/4=BC^2*AD^2/4 (由ADE是直角).
又由BDC为直角,BC^2=DB^2+DC^2,代入得S^2-S1^2=DB^2*AD^2/4+DC^2*AD^2/4.
注意到CDA面积S2=DC*AD/2,ADB面积S3=DB*AD/2.
即得S^2=S1^2+S2^2+S3^2.
(2)由上面证明的中间结果S1/S=DE/AE=cosα(DEA等于该二面角).
类似可得S2/S=cosβ,S3/S=cosγ.
于是将(1)所证等式除以S^2即得(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2=1.
(3)设四面体DABC的外心为O,M为AD中点.
由OA=OD,有OM垂直于AD,又AD垂直于平面BDC,所以直线OM与平面BDC平行,O到平面BDC的距离等于MD=AD/2=a/2.同理O到平面CDA与平面ADB的距离分别为b/2与c/2.
作OO2垂直交平面CDA于O2,则O2M与AD垂直(三垂线逆定理),O2M与平面ADB垂直(因为侧面两两垂直).有O2M=c/2,OO2=b/2,于是OM^2=(b^2+c^2)/4.
进一步R^2=OD^2=MD^2+OM^2=(a^2+b^2+c^2)/4.
故R=(a^2+b^2+c^2)^(1/2)/2.