Question

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线 于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD，

Answer 1

（1）证明：由y=x+b，得A（-b，0），B（0，b），

∴∠DAC=∠OAB=45°，

又DC⊥x轴，DE⊥y轴，

∴∠ACD=∠CDE=90°，

∴∠ADC=45°，即AD平分∠CDE。

（2）证明：由（1）知△ACD和△BDE均为等腰直角三角形，

∴

，

又∵D在双曲线

上，

∴CD·DE=2，

∴AD·BD=2CD·DE=2×2=4为定值。

（3）存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形。

理由：若四边形OBCD为平行四边形，

则AO=AC，OB=CD，

由（1）知AO=BO，AC=CD，

设OB=a（a>0），

∴B（0，-a），D（2a，a），

∵D在

上，

∴2a·a=2，

∴a=1，a=-1（舍去），

∴B（0，-1） ，D（2，1），

又B在y=x+b上，

∴b=-1，即存在直线AB: y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形。