Question

（2002•天津）已知a＞0，函数f（x）=x3-a，x∈（0，+∞），设x1＞0，记曲线y=f（x）在点（x1，f（x

Answer 1

解题思路：（1）先求函数f（x）的导数，根据y=f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线的斜率等于在该点的导数值可得答案．

（2）①由（1）中切线方程令y=0求出x₂，然后作差即得证．

②将①中结论代入即可得证．

（1）f（x）的导数f'（x）=3x²，

由此得切线l的方程y-（x₁³-a）=3x₁²（x-x₁）；

（2）①依题意，在切线方程中令y=0，

得x2＝x1−

x31−a

3

x21＝

2

x31+a

3

x21，

x2−a

1

3＝

1

3

x21(2

x31+a−3

x21a

1

3)=[1

3

x21(x1−a

1/3])2(2x1+a

1

3)≥0，

∴x2≥a

1

3，当且仅当x1＝a

1

3时取等成立．

②若x1＞a

1

3，则x₁³-a＞0，x2−x1＝

x31+a

3

x21＜0，

且由①x2≥a

1

3，

所以a

1

3＜x2＜x1．

点评：

本题考点： 导数的几何意义；函数与方程的综合运用．

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义和不等式的证明．属中档题．