Question

设有三维列向量a1=(1+ɡ,1,1)T,a2=(1,1+ɡ,1)T,a3=(1,1,1+ɡ),β=(0,ɡ,ɡ^2),

Answer 1

此问题等价于:

λ取何值时线性方程组有唯一解,无解,有无穷解(此时求出通解)

(1+λ)X1+X2+X3=0

X1+(1+λ)X2+X3=λ

X1+X2+(1+λ)X3=λ^2

解: 系数行列式 |A| =

1+λ 1 1

1 1+λ 1

1 1 1+λ

=

c1+c2+c3

3+λ 1 1

3+λ 1+λ 1

3+λ 1 1+λ

r2-r1,r3-r1

3+λ 1 1

0 λ 0

0 0 λ

= (3+λ)λ^2.

当|A|≠0, 即λ≠0且λ≠-3时, 方程组有唯一解.

当λ=0时, 增广矩阵 =

1 1 1 0

1 1 1 0

1 1 1 0

r2-r1,r3-r1

1 1 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

此时方程组有无穷多解, 通解为 c1(1,-1,0)^T + c2(1,0,-1)^T.

当λ=-3时, 增广矩阵 =

-2 1 1 0

1 -2 1 -3

1 1 -2 9

r3+r1+r2

-2 1 1 0

1 -2 1 -3

0 0 0 6

此时方程组无解.