Question

已知函数y=f（x），x∈N * ，任取m，n∈N * ，均有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2成立，且

Answer 1

由f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2

则f（n）=f（n-1+1）

=f（n-1）+f（1）+4n-2

=f（n-1）+4n-1

=f（n-2）+4（n-1）-1+4n-1

=f（1）+4×1+4×2+…+4（n-1）+4n-（n-1）

=1+

4n(n-1)

2 -n+12n ²-3n+2

=2n ²-3n+2

则f（x）=2x ²-3x+2，（x∈N ₊）

令g（p）=p ²-tp则只需g（p） _max≤f（x） _min，

即可满足p ²-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，

则f（x）的对称轴为x=

3

4 ，x∈[3，+∞）

则f（x）在[3，+∞）上是增函数，∴f（x） _min=f（3）=11，

而g（p）的对称轴p=

t

2 ，p∈[2，3]，

若

t

2 ≤

5

2 ，即t≤5，g（p）在p=3处取得最大值，g（p） _max=g（3）=9-3t，

可得9-3t≤11解得t ≥-

2

3 ，综上-

2

3 ≤t≤5；

若

t

2 ＞

5

2 ，即t＞5，g（p）在p=2处取得最大值，g（p） _max=g（2）=4-2t，

可得4-2t≤11，解得t≥-

7

2 ，综上t＞5，

综上可得t≥-

2

3 ；t的最小值为-

2

3 ，

故答案为-

2

3 ；