Question

（2006•重庆二模）如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）直接求出n=1时a₁，n=2时a₂，n=3时a₃，n=4时a₄；的值；

（Ⅱ）依次对扇形区域染色求出a_n然后说明它与a_n+1（n≥2）的关系式；

（Ⅲ）通过a_n与a_n+1（n≥2）的关系式；令n=1，2，3，4，…n时写出关系式，利用累加法求出数列{a_n}的通项公式a_n，

要证明a_n≥2n（n∈N^*）需要已知n=1，n=2，n=3时成立，然后利用二项式定理证明表达式成立即可．．

（Ⅰ） 当n=1时，不同的染色方法种数a₁=3，

当n=2时，不同的染色方法种数a₂=6，

当n=3时，不同的染色方法种数a₃=6，

当n=4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形

∴不同的染色方法种数a₄=3×1×2×2+3×2×1×1=18．

（Ⅱ）依次对扇形区域1，2，3，…n，n+1染色，不同的染色方法种数为3×2ⁿ，其中扇形区域1与n+1不同色的有a_n+1种，扇形区域1与n+1同色的有a_n种

∴a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）

（Ⅲ）∵a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）

∴a₂+a3=3×2²

a₃+a₄=3×2³

…

a_n-1+a_n=3×2^n-1将上述n-2个等式两边分别乘以（-1）^k（k=2，3…n-1），再相加，得

a₂+（-1）^n-1a_n=3×2²-3×2³+…+3×（-1）^k×2^n-1=3×

22[1−(−2)n−1]

1−(−2)，

∴a_n=2ⁿ+2•（-1）ⁿ从而an＝

3 n＝1

2n+2•(−1)nn≥2．

（Ⅲ）证明：当n=1时，a₁=3＞2×1

当n=2时，a₂=6＞2×2，

当n≥3时，

a_n=2ⁿ+2•（-1）ⁿ=（1+1）ⁿ+2•（-1）ⁿ

=1+n+C₂ⁿ+C₃ⁿ+…+C_n-2ⁿ+n+1+2•（-1）ⁿ

≥2n+2+2（-1）ⁿ≥2n，

故a_n≥2n（n∈N^*）．

点评：

本题考点： 数列的应用；排列、组合的实际应用；数学归纳法．

考点点评： 本题是中档题，考查排列组合的应用，数列与不等式的故选的应用，数列的求和的基本方法，二项式定理的应用，考查转化思想，计算能力，难度较大．