解题思路：（1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；
（2）根据（1）中．在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变；
（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为 [QA/AB]=[AP/BC]、[QA/BC]=[AP/AB]两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案．
（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．
当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6-t=2t，
解得：t=2（s），
所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形．
（2）在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，
∴S△QAC=[1/2]QA•DC=[1/2]（6-t）•12=36-6t．
在△APC中，AP=2t，BC=6，
∴S△APC=[1/2]AP•BC=[1/2]•2t•6=6t．
∴S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=（36-6t）+6t=36（cm2）．
由计算结果发现：
在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
①当 QA：AB=AP：BC时，△QAP∽△ABC，那么有：
（ 6-t）：12=2t：6，解得t=[6/5]=1.2（s），
即当t=1.2s时，△QAP∽△ABC；
②当 QA：BC=AP：AB时，△PAQ∽△ABC，那么有：
（ 6-t）：6=2t：12，解得t=3（s），
即当t=3s时，△PAQ∽△ABC；
所以，当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质．
考点点评： 本题比较复杂，考查了等腰三角形、相似三角形的判定定理与性质，是一道具有一定综合性的好题．