Question

如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与过点A(2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T

Answer 1

1、方程为：x/2+y/1=1,y=-x/2+1,(1)

e=c/a=√3/2,

c=√3a/2,

b^2=a^2-c^2=a^2/4

x^2/a^2+4y^2/a^2=1,(2)

把（1）代入（2）式,

x^2/a^2+4(-x/2+1)^2/a^2=1,

2x^2-4x+4-a^2=0,

因直线和椭圆只有一个公共点.则一元二次方程判别式△=0,

16-4*2*（4-a^2)=0,

a^2=2,

b^2=a^2/4=1/2,

∴椭圆方程为：x^2/2+2y^2=1.

2、将直线方程代入椭圆方程,解出T坐标,

x^2/2+2(-x/2+1)^2=1,

x^2-2x+1=0,

x=1,y=1/2,

T(1,1/2),

AT^2=(2-1)^2+(0-1/2)^2=5/4,

a=√2,

c=a√3/2=√6/2,

|F2A|=2-√6/2,

||F1A|=2*（√6/2）+2-√6/2=2+√6/2,

|F2A|*|F1A|=（2-√6/2）*（2+√6/2）=4-3/2=5/2,

∴AT^2=(1/2)|F2A|*|F1A|.