Question

已知m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根，求证：以m+n为边长的正方形面积与以m、n为边长的矩

Answer 1

解题思路：根据根与系数的关系求得m+n=-[b/a]，mn=[c/a]；从而推知正方形、长方形的面积；然后根据一元二次方程的根的判别式求得它们的比值即可．

证明：∵m，n是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个正实数根，

∴m+n=-[b/a]，mn=[c/a]，

∴以m+n为边长的正方形面积S_正方形=（m+n）²=(

b

a)2 ，a、c同号；

以m、n为边长的矩形面积S_矩形=mn=[c/a]，

∴S_正方形：S_矩形=b²：ac；

又关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个正实数根，

∴b²-4ac≥0，即b²≥4ac，∴

b2

ac≥4，

即S_正方形：S_矩形=b²：ac≥4，

∴以m+n为边长的正方形面积与以m、n为边长的矩形面积之比不小于4．

点评：

本题考点： 根与系数的关系．

考点点评： 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．在根据一元二次方程的根的判别式求b2与ac的比值时，要注意需要讨论ac的符号．