Question

一道高中数学数列证明题已知Sn是等比数列﹛an﹜的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2.a8,a5成等差数列

Answer 1

证明;

可设通项an=a1×q^(n-1).n=1,2,3,

[[[1]]]

当q=1时,易知an=a1,Sn=na1,n=1,2,3.

由题设2S9=S3+S6

即18a1=3a1+6a1

a1=0.矛盾.

∴q≠1

[[[2]]]

当q≠1时.易知Sn=[a1/(q-1)]×[-1+q^n].n=1,2,3,...

由题设2S9=S3+S6可得

2[-1+q^9]=(-1+q^3)+(-1+q^6)

∴2q^6=1+q^3

∴2q^7=q+q^4

∴2a1q^7=(a1q)+[a1q^4]

即2a8=a2+a5

∴a2.a8.a5成等差数列