(2013•泉州模拟)已知椭圆C的对称中心为坐标原点,上焦点为F(0,1),离心率e=[1/2].

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  • 解题思路:(Ⅰ)由题意可知c,由离心率求出a,结合b2=a2-c2可求b,则椭圆的标准方程可求;

    (Ⅱ)由题意知直线AF的斜率存在且求得其斜率,求出直线l的斜率,写出直线方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,写出判别式后由m的范围得到判别式的符号,从而直线和椭圆的位置关系.

    (Ⅰ)由条件可知c=1,∵e=[c/a]=[1/2],∴a=2,

    则b2=a2-c2=4-1=3,所以b=

    3,

    所以椭圆C的标准方程为

    x2

    3+

    y2

    4=1;

    (Ⅱ)∵kAF=-[1/m],∴直线l的斜率k1=m,

    则直线l:y=m(x-m).

    联立y=m(x-m)与

    x2

    3+

    y2

    4=1,

    有(4+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,

    则△=36m6-4(4+3m2)•(3m4-12)=-48(m4-3m2-4)

    =-48(m2+1)(m2-4)=-48(m2+1)(m-2)(m+2),

    ∵m>0,∴m2+1>0,m+2>0,

    则当0<m<2时,△>0,此时直线l与椭圆C相交;

    当m=2时,△=0,此时直线l与椭圆C相切;

    当m>2时,△<0,此时直线l与椭圆C相离.

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.

    考点点评: 本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等,是中档题.