解题思路:(Ⅰ)由题意可知c,由离心率求出a,结合b2=a2-c2可求b,则椭圆的标准方程可求;
(Ⅱ)由题意知直线AF的斜率存在且求得其斜率,求出直线l的斜率,写出直线方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,写出判别式后由m的范围得到判别式的符号,从而直线和椭圆的位置关系.
(Ⅰ)由条件可知c=1,∵e=[c/a]=[1/2],∴a=2,
则b2=a2-c2=4-1=3,所以b=
3,
所以椭圆C的标准方程为
x2
3+
y2
4=1;
(Ⅱ)∵kAF=-[1/m],∴直线l的斜率k1=m,
则直线l:y=m(x-m).
联立y=m(x-m)与
x2
3+
y2
4=1,
有(4+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,
则△=36m6-4(4+3m2)•(3m4-12)=-48(m4-3m2-4)
=-48(m2+1)(m2-4)=-48(m2+1)(m-2)(m+2),
∵m>0,∴m2+1>0,m+2>0,
则当0<m<2时,△>0,此时直线l与椭圆C相交;
当m=2时,△=0,此时直线l与椭圆C相切;
当m>2时,△<0,此时直线l与椭圆C相离.
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
考点点评: 本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等,是中档题.